Возможны оба варианта.
Правильно: план дней открытых дверей.
Корректно: льва называют царем зверей.
Нет, пишем строчными.
При подлежащем, в состав которого входит слово много, сказуемое обычно ставится в форме единственного числа: Много зверей живет в лесу.
Указанная запятая не нужна.