Правильные варианты: голосую двумя руками и голосую обеими руками.
Корректно: запрещаются контакты между работниками подразделений, не связанных общими задачами.
Правилен второй вариант.
Запятая перед и не требуется.
Фраза построена неудачно (сочетание "достигнуть марку").
Правильно: любые изменения в соглашении действительны...
Запятая не ставится.
Фамилии в этом случае пишутся с большой буквы, в кавычки не заключаются.