Это имя собственное склоняется, форма винительного падежа: Жан-Клода Ван Дамма (см. «Словарь собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко).
Правильно: ван Эйк.
Верное управление: дан старт чему. Однако со словом университет сочетание неудачно.
Это слово зафиксировано словарями, но с пометой «шутливое». Иными словами, оно так и остается языковой игрой.
Верно: вакансия няни, работа няни и для няни.
И. п. Жан; Р. п. и В. п. Жана; Д. п. Жану; Т. п. Жаном; П. п. (о) Жане.
Да, недреманный всегда пишется с двумя н.
Склоняется следующим образом: Жан-Клод Ван Дамм, Жан-Клода Ван Дамма и т. д.