Слово нуль является существительным и управляет родительным падежом: при нуле градусов. Ср.: с миллионом друзей (существительное миллион требует род. падежа от зависимого существительного), с пятью друзьями (числительное и существительное согласуются в падеже).
См. ответ на вопрос № 308239.
Оба варианта допустимы.
См. в «Словаре трудностей».
Поскольку предложение построено по схеме "кто – кому", тире нужно: Служба занятости – гражданам, имеющим инвалидность.
Верны оба варианта.