Возможны первый и третий варианты.
И то и другое. Лапка - часть ноги насекомого.
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Insectanatomydiagram.svg?uselang=ru
В "Словаре языка Пушкина" (М., 2000): глядючИ.
Лучше: нора была глубока, была глубокой.
Это сочетание не тавтологичное (тавтология – неоправданное соседство однокоренных слов, например: следует отметить следующие особенности), но плеонастичное (т. е. лексически избыточное), ведь ступня – это и есть нижняя часть ноги.