Слова носище, топорище (в значении 'большой топор') и пожарище (в значении 'большой пожар') – существительные мужского рода. Топорище 'рукоятка топора' и пожарище 'место, где был пожар' – существительные среднего рода.
Верно: наращённые ногти, волосы.
Все варианты правильны. Ногти можно и остричь, и постричь, и подстричь.