Форма р. п. мн. ч. существительного нить - нИтей.
Управление намек о ком-либо, чем-либо отмечено в справочниках как устаревшее. Правильно: намек на коррупцию.
Оба варианта верны.
Правильно: нашей Виктории один год.
Имеется в виду японское блюдо? Корректно: суши появилось.
Оба варианта корректны, первый выглядит лучше.
Верно в этом случае: Это подопечный нашего тренера.