Полагаем, здесь сохраняется исходное написание. Орфографических причин для написания двух Н нет.
Вы правы: согласно словарям, у прилагательного корневой нет значения 'основной, главный'. В этом случае следует использовать прилагательное коренной: коренная проблема.
Лучше: жительница Щёкина. В русском языке очень мало названий женского рода, соотносимых с названиями на -ец.