Слитное написание в данном случае корректно.
Сочетание недолго думая запятыми выделяется, но не как вводное, а как деепричастный оборот.
Пунктуация зависит от контекста, но чаще слова недолго думая обособляются как деепричастный оборот.
Правильно: недолюбив, недосказав 'умолчав о чем-либо, высказав не до конца' и не досказав 'не успев досказать', недоделав 'сделав меньше, чем следует' и не доделав 'не окончив работу'. О разнице в употреблении глаголов с приставкой недо- и глаголов с приставкой до- и предшествующей частицей не см. подробно в ответе на вопрос № 251968 (деепричастия, понятно, пишутся так же, как и инфинитивы соответствующих глаголов).
Правильно: в течение недели (во время, в продолжение).
Корректно слитное написание.