Нет, запятая не требуется.
Корректно: начиная с применения простого анальгетика - парацетамола.
Запятая не ставится (слово начиная можно опустить).
Запятая не нужна. Объяснение Вы найдете в «Справочнике по пунктуации».
Верно: залезать. Вариант залазить просторечный.