Здесь корректно раздельное написание, так как от того — это не наречие, а местоимение с предлогом. Наречие оттого, означающее 'по этой причине, поэтому', пишется слитно. Ср.: Поворачиваюсь к нему и начинаю смеяться оттого, что он дует свои пухлые губы так забавно.
Словосочетание и составное глагольное сказуемое — это единицы разных классификаций. В первом случае мы определяем тип связи между словами, во втором — говорим о роли в предложении, которую может играть и словосочетание. Если словосочетанием считать соединение двух самостоятельных слов, связанных подчинительной синтаксической связью, составное сказуемое может быть выражено словосочетанием, образованным примыканием. От главного слова словосочетания мы можем задать вопрос к зависимому инфинитиву: хочу (что?) гулять, пообещал (что?) вернуться, начинаю (что?) петь. Точно так же мы задаем вопрос от главного слова к зависимому в случаях, когда инфинитив выполняет другую роль в предложении: попросил (о чем?) выйти.
Есть мнение, что составные сказуемые не являются словосочетаниями, потому что семантически главным является как раз инфинитивный компонент (см. ответ № 319367), но обычно подчинительную связь в словосочетании принято устанавливать по формальным, а не семантическим признакам. «Русская грамматика» в т. II, § 1775 «Примыкание инфинитива» в качестве субъектного примыкающего инфинитива приводит примеры хотеть остаться, намереваться уехать, начать говорить и т. д. Эти словосочетания представляют собой типичные составные глагольные сказуемые.
Нет оснований писать слово сборник с большой буквы.
Верно: залезать. Вариант залазить просторечный.
Лучше всего: (школьная) олимпиада по истории.
Такое употребление некорректно. Глагол стошнить следует использовать только в безличных предложениях.
В орфографических словарях зафиксировано написание с прописными буквами, склонение второй части необходимо, например: исполнила партию Царевны Лебеди, думаю о Царевне Лебеди, идет рядом с Царевной Лебедью.
Да, это вводное сочетание, обособление необходимо. Подробнее см. в «Справочнике по пунктуации».
Разница исключительно грамматическая: начать – совершенный вид, начинать – несовершенный. Эта разница видна на примерах: я начинаю (сейчас), я начну (скоро).
Следует поставить двоеточие: Я начинаю верить: вернется весна...
