Оба варианта корректны, различаются оттенками значения: Не надо задавать вопросы (конкретные), Не надо задавать вопросов (вообще никаких).
Предпочтительно: не задавать вопросов.
Правильно: сдавать макулатуру.
Такого правила нет. Слова с -ва- и без -ва- — это разные глаголы несовершенного и совершенного вида.
В разговорной речи такое употребление возможно. Но стилистически нейтрально: У тебя же завтра выходной?
Верно: надевать бахилы.
Здесь верно: надевать.
См. в «Словаре трудностей».