Правильно слитное написание: расширенные книзу брюки.
Правильно: внизу изображения (на изображении, в нижней его части); под изображением (ниже, чем изображение).
Воспользуйтесь, пожалуйста, информационно-поисковой системой «Орфографическое комментирование русского словаря».
Корректно: У неваляшки центр тяжести смещен книзу. Ср. с описанием в словарной статье.
Запятая поставлена правильно.
Правильно: Данилу (от Данил) и Даниле (от Данила).
Нет, такая формулировка неверна. Правильно: Напишу вам о новостях.
Нанижу (нанижешь), буду (будешь) нанизывать.