Мужская фамилия Цай склоняется: назначить Цая Виталия Валерьевича... Подробнее см. в «Письмовнике».
Верно: Назначить ответственное лицо... А лучше: Назначить лицо, ответственное за содержание в исправном состоянии.
Верно: назначить уполномоченным по качеству Петрову Анну.
Правильно: назначить пенальти.
Корректно: ...назначить ответственным за работу с договорами табельщицу А. И. Иванову.
Корректно: назначить ответственным за электрохозяйство.
В данном предложении притяжательное местоимение излишне: "Назначить специалиста по логистике Анну Иванову исполняющим обязанности руководителя отдела без освобождения от основной работы".
1. Существительное можно пропустить: назначить ответственным за ведение журнала такого-то.
2. Корректно: обязанность по ведению журнала.
Верно: назначить ответственными Иванова - начальника участка и Петрова - начальника участка.
Второй вариант корректен.