Правильно без кавычек: бухта Богородское Озеро и т. д.
Да, эта фамилия склоняется (и мужская, и женская).
Корректно: средство для ухода, средство по уходу...
Слово неохота здесь пишется слитно. Да, это предикатив (или слово категории состояния).
В подобных случаях название института следует писать в кавычках и не склонять: Учреждение Российской академии наук «Институт серпа и молота», директор Учреждения РАН «Институт серпа и молота».
Лучше всего посмотреть на карте.