Существуют обе формы. Ряд словарей указывает, что форма мучаюсь разговорная.
Правильно: мучиться (неопределенная форма); мучится и допустимо в разговорной речи мучается (форма 3-го лица ед. числа).
Выбор предлога зависит от контекста. Примеры см. в словарях.
Верно: тысяче богов, тысячам богов.
Верно: учиться этой специальности, обучаться по специальности, приобретать специальность.
Оба варианта верны.
Корректно: молиться о чем (о здравии, о мире, о спасении и т. д.), молиться за кого-что. Молиться за Украину - корректное сочетание.