Отдельного слова, которое бы называло самца кукушки, в современном русском языке нет.
Сделать укол – нейтральный, общеупотребительный вариант, поставить укол – профессионализм, характерный для речи медиков.
Сделать укол - корректно. В профессиональной речи: ставить укол.
Ставить укол – профессионализм медиков. Общеупотребительно и стилистически нейтрально: делать укол.
Возможные варианты: народный самодеятельный коллектив «Театр кукол "Романтик"» (предпочтительно) и народный самодеятельный коллектив «Театр кукол «Романтик» (допустимо).
Поставить укол – профессионализм, характерный для речи медиков. Общеупотребительно и стилистически нейтрально: делать укол.
Все варианты корректны. Какой из них выбрать — решать автору.