Существительное мозоль женского рода: больная мозоль.
Нет, это не цельное словосочетание.
Да, мужская фамилия Король склоняется. Правильно: Королю Евгению.
Может быть, помочь чем-то? Каков контекст?
В словаре Лопатина В. В., Нечаевой И. В. и Чельцовой Л. К. «Прописная или строчная? Орфографический словарь» (М., 2011) рекомендуется в этом имени сказочного персонажа писать все слова с прописной буквы.
Да, склонение мужской фамилии Король обязательно (женская фамилия не склоняется).