Мониторить - только в разговорной речи. Нормативно: мониторировать.
Книжный (официально-деловой) вариант: осуществлять мониторинг. В разговорной речи возможно: мониторить.
Управление такое же, как и у глагола наблюдать: наблюдать за температурой (=следить, мониторить); наблюдать температуру (=видеть, отмечать).