Правильно: городского округа Реутов.
Предпочтителен первый вариант.
Кавычки не требуются.
Правильно: главе городского округа Краснознаменск Московской области.
Лучше всего: при содействии администрации Воронежа.
Правильно: Макухе Галине.
Фамилия Кобец склоняется только в мужском варианте: Кобецу Ивану или Кобцу Ивану. См. ответ № 197533.
Склоняются мужская фамилия Чигрин и женская Чигрина. Женская фамилия Чигрин не склоняется.
Правила см. в Письмовнике.
Запятая нужна: Библиотека, достойная округа.
Если это предложение целиком, то оно составлено неверно. Возможный вариант: Считаем необходимым поддержать инициативу депутатов...