Правильно: кафедра механики.
Отвлеченный характер существительного препятствует образованию форм мн. ч. в указанных Вами контекстах.
Знаки препинания расставлены верно.
Вероятная цепочка такова: Отделение по охранению общественной безопасности и порядка - Охранное отделение - охранка. Ср.: Ильинская улица - Ильинка.
Запятая нужна.