Верно: подтвердил четыре места работы, шесть мест работы.
Лучше: освободилось несколько мест. Но и второй вариант тоже возможен.
Первая часть сложных слов мега... пишется слитно: мегазаведение, мегагений.
В этом случае кавычки не требуются.
Написание неустоявшееся. Лучше: в глубь леса (ср.: в глубину леса).
Верно: количество мест ограниченно; количество мест ограничено чем-либо.