Оба варианта верны, при этом первый сегодня носит разговорный оттенок.
Корректно без предлога. Возможно также: сплав чего с чем.
Верно: на меди.
Верно: на меду.
Возможно написание и медцентр (сложносокращенное слово), и мед. центр (графическое сокращение слова медицинский).
См. правило в полном академическом справочнике «Правилах русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина, § 145, п. 3.
Довольно часто в этой пословице ставят запятую. Однако в соответствии с правилами пунктуации возможно два варианта: без какого-либо знака перед что, либо с тире. Это предложение по структуре простое, подлежащее выражено инфинитивом разговориться, сказуемое – сравнением что меду напиться. В таких случаях знак препинания обычно не ставится, но в случае акцентирования сказуемого (и для пословицы это кажется вполне оправданным) допускается тире.