Правильно: музей «Банный корпус».
Корректно: (когда?) в данный момент, на данный момент.
Оба варианта правильны.
Существуют оба выражения.
Не нужна. Придаточные предложения, присоединяемые союзом «в связи с чем», выделяются (или отделяются) запятыми, но после самого союза запятая не ставится.
Правильно: в данный момент идет экзамен.
Верно слитное написание.