Верно: коза ностра.
Оба варианта грамотны.
Да, такие фамилии склоняются (и мужские, и женские), например: фильмы Данелии.
Правильно: вопреки (чему?) мнению.
Однозначного ответа нет. Сложносокращенные наименования государственных предприятий, корпораций, акционерных обществ, а также крупнейших банков при употреблении без родового слова в современной практике письма испытывают колебания: Рособоронэкспорт и «Рособоронэкспорт», Промсвязьбанк и «Промсвязьбанк», Россельхозбанк и «Россельхозбанк» и т. д. При употреблении с родовым словом кавычки последовательно ставятся: акционерное общество «Рособоронэкспорт», ПАО «Промсвязьбанк».
Такая формулировка некорректна. Можно сказать: прими участие в опросе сотрудников, узнай мнение (мнения) сотрудников.
Лучше с предлогом В.
Выражение корректно.