Поинтересоваться, разузнать.
Варианты различаются стилистически: закрыть дверь – нейтральный, замкнуть дверь – разговорно-просторечный.
Это синонимы ко всему фразеологическому выражению закинуть удочку, о синонимах к одному только слову закинуть (если мы имеем в виду идиому) говорить бессмысленно: для фразеологизма характерно целостное значение, неразложимость на части. Если же выражение закинуть удочку употребляется в прямом значении, подобрать синоним труда не составляет: забросить.
До слова "небосвод" запятая не нужна. Дальше - по контексту.
Оба слова употребляются.