Склоняются все компоненты этого имени: Мартина Лютера Кинга.
Вариант с двумя предлогами НА (на платке на столбике) менее удачен, чем вариант с разными предлогами.
Предпочтительно: находилось.
Правильно: политические лагери.
Да, верно.
Правильно: летние (оздоровительные) лагеря.
Оба варианта возможны.
Возможны оба варианта.