Правильно: национальный парк «Лосиный Остров». Слово остров пишется с большой буквы, поскольку употребляется не в своем основном значении (это не остров, а лесной массив).
Приложения, выраженные прозвищами или условными названиями, не согласуются с определяемыми словами, т. е. сохраняют начальную форму во всех падежах: о Ричарде Львиное Сердце.
Корректно: парк "Лосиный Остров".
Корень лавин-, суффикс -н-, окончание -ый.
Да оба слова пишутся с большой буквы: Лосиный Остров.
Нормативными словарями современного русского языка зафиксировано прилагательное зе́бровый.