Корректно: сеть Интернет (интернет).
Правильно: сеть кофеен.
Определяем тип спряжения по ударным личным окончаниям: висишь, висит, висят; сидишь, сидит, сидят. Это окончания II спряжения. Если личные окончания ударные, мы при определении типа спряжения не обращаем внимания на неопределенную форму глагола.
Смысл в том, что служб несколько и они образуют сеть? Или у ветеринарной службы (одной) есть сеть филиалов?
Возможны варианты. Сегодня чаще можно услышать: ехать поездом, лететь самолетом.
Если это не имя собственное (не название фильма, например), то никаких оснований для написания с большой буквы нет. Правильно: социальная сеть.
Допустимо: Не примите за лесть – это чистая правда.