Правильно: национальный парк «Лосиный Остров». Слово остров пишется с большой буквы, поскольку употребляется не в своем основном значении (это не остров, а лесной массив).
Корректно: парк "Лосиный Остров".
Да оба слова пишутся с большой буквы: Лосиный Остров.