Корректно: Директору ГБОУ "Лицей № 101".
Если слова Лицей № 5 являются официальным названием муниципального образовательного учреждения (МОУ), то правильно: МОУ «Лицей № 5» г. Купеческа.
Оба выражения верны. Сочетания преподаватель школы, преподаватель лицея часто используются как официальные наименования лиц по профессии, а сочетания преподаватель в школе / в лицее — варианты, отмечающие место работы человека.
Правильно: работа ученика ГБОУ «Лицей № 1».
Верно: администрация МАОУ «Лицей № 21».
Следует писать с маленькой буквы.
Название в кавычках не склоняется, так как есть родовое слово МБГОУ: ученицы 6 "Б" класса МБОУ "Лицей № 6"...
Правильно: В 1811 году Пушкин уехал из Москвы, чтобы поступить в Царскосельский императорский лицей.
Вполне допускаем существование текста, в котором речь идет о лидерах и порядке их упоминания, размещения, следования друг за другом. Иными словами, едва ли есть какой резон обсуждать стилистическую характеристику этого словосочетания без контекста.