Если слова Лицей № 5 являются официальным названием муниципального образовательного учреждения (МОУ), то правильно: МОУ «Лицей № 5» г. Купеческа.
Корректно: Ликуй, Москва, твой день рождения!
Правильно: В 1811 году Пушкин уехал из Москвы, чтобы поступить в Царскосельский императорский лицей.
Корректно: Директору ГБОУ "Лицей № 101".
Следует писать с маленькой буквы.
Орфографическими словарями не предусмотрено написание слова лицей с прописной буквы в значении 'Царскосельский лицей', поэтому корректно написание со строчной.
От существительного лицей образуется прилагательное лицейский. Правильно: учиться по лицейской программе.
Корректно: в лицее "Бауманский", в Бауманском лицее.
Правильно: Съемка зала самбо в ГБОУ «Лицей "Международная космическая школа им. В. Н. Челомея"».
Правильно: работа ученика ГБОУ «Лицей № 1».