Да, объяснение есть. Валенки пишется через е, потому что исторически связано с причастием валенный, образованным от глагола валить в значении «скатывать, сбивать что-либо из шерсти». В современном русском языке слово валенки является исключением, так как соотносится с глаголом валять, с сочетанием валяные сапоги.
Правильно: Франтишкови-Лазне.
В обоих случаях есть "лазейки", чтобы не ставить запятые. Но мы бы поставили знаки в обоих предложениях, т. к. деепричастие сохраняет глагольное значение действия.
Склоняется мужская фамилия Лазник, женская фамилия не склоняется. Также не следует склонять эту фамилию, если речь идет одновременно о лицах мужского и женского пола: брат и сестра Лазник.