На качелях обычно качаются, на каруселях - катаются.
Выражения кататься на качелях, на каруселях, на колесе обозрения вполне корректны.
Правильно: ложись.
Использование кавычек факультативно.
Что Вас смущает в этом глаголе? Какие затруднения возникают с его употреблением?
Сам по себе корень употребляться не может; можно говорить о допустимости / недопустимости употребления слова с этим корнем. Глагол ложиться (форма повелительного наклонения этого глагола – ложись) входит в состав современного русского литературного языка, а вот глагол ложить – нет, т. е. употребление слова ложить в речи грамотного человека недопустимо.
Можно, хотя это выражение и не является устойчивым.
Такая формулировка возможна. Может быть, лучше: Куда ставить (класть) папки?
