Оба варианта имеют право на существование, однако чаще используется форма "культурно-просветительский проект".
Написание должно быть дефисным: культурно-просветительский. А вот с точки зрения стилистики сочетание не вполне удачное.
Нет, сочетание культурно-просветительский корректно.