Разница, пожалуй, только в том, что кукольный спектакль может быть показан не только в театре (например, дома).
Существительное петрушка употребляется как одушевленное в значении 'кукла; театральный персонаж'. В значениях 'кукольный театр; нелепое дело' и 'растение' петрушка – неодушевленное существительное.