Словарной фиксации нет. Преобладает написание со строчной буквы, этой тенденции и нужно следовать.
В словаре Лопатина В. В., Нечаевой И. В. и Чельцовой Л. К. «Прописная или строчная? Орфографический словарь» (М., 2011) рекомендуется в этом имени сказочного персонажа писать все слова с прописной буквы.
Нет, это не омонимы. В сочетании красный командир прилагательное изменило свое значение.
Верно: личный прием губернатором.
Воспользуйтесь, пожалуйста, ресурсом «Проверка слова».
Воспользуйтесь, пожалуйста, «Проверкой слова».
В обоих случаях оба слова в собственном названии улицы нужно писать с прописной буквы: Красный Путь.
Оба варианта нормативны.