Кричать – глагол второго спряжения. См. подробно ответ на вопрос № 218239.
Это не идиома.
См. в «Справочнике по фразеологии».
Ваш вопрос непонятен. Разве причастия могут быть образованы без участия суффиксов?
Будет корректным во всех случаях считать это слово существительным.
Запятая перед как нужна.
Правильно: Даже при чужих маленькие дети кричат не задумываясь: «Вытри мне попу!» – или говорят гостю: «Мне не нравится твой подарок».
Запятая перед что нужна. Это союз.