Название не склоняется и иначе пишется. Воспользуйтесь, пожалуйста, ресурсом «Проверка слова» .
В роли сказуемого следует (предпочтительно) использовать краткое прилагательное: Корзина пуста.
В данном контексте уместно написание со строчной, без кавычек: положить товары в корзину.