Да, фамилия склоняется (и мужская, и женская): Коцаги, Коцаге и т. д.
Эту фамилию не следует склонять.
Нужно тире: Верховная богиня – хранительница семейного очага.
Слова "не в последнюю очередь" не являются вводными. Обратите внимание на неудачный повтор: атмосферу очага... создает очаг.