Кавычки не требуются: корсет на косточках.
Верно: отсчет чего (в данном случае - отсчет дней войны).
Согласно словарям, оба варианта верны. Если Вы боитесь, что возникнет двусмысленность (слово просчет также имеет значение "ошибка в подсчете"), используйте вариант расчет суммы.
Корректно слитное написание: грудопоясничный.
Верно: Игрушка полезна детям, так как, прыгая, ребенок укрепляет мышечный корсет..