Якшаться – поддерживать с кем-л. короткое знакомство. В словарях – с 1822 г. Ранние примеры в произведениях художественной литературы – у Пушкина: «не якшаюсь с новой знатью». Образовано от тюркского якши 'хороший, хорошо'.
Знакомство с человеком, конечно, не может быть вторым, тем не менее в русском языке существует устойчивое сочетание с первого знакомства, зафиксированное словарями русского языка. Так что такое употребление допустимо.
Возможны оба варианта. Однако в первом случае субъектом действия является только Иван Иванович (и именно он находится в центре повествования). А во втором случае Иван Иванович и Петр Петрович являются двумя равноправными субъектами действия.
Возможны оба варианта. Выбор зависит от контекста.
Оба варианта верны.
Мужские фамилии на согласный склоняются, женские – нет. Правильно: знакомство Огарева с Герценом.
Возможно, ознакомление с программой партии большевиков.
Правильно: в самые короткие сроки, в кратчайшие сроки, в минимальные сроки.
