Да, мужская фамилия Король склоняется. Правильно: Королю Евгению.
Правильно: косуля, -и; р. мн. косуль.
Да, склонение мужской фамилии Король обязательно (женская фамилия не склоняется).
Склоняются мужские фамилии Бутон и Король. Фамилия Прокопенко не склоняется.
Склоняется. См. в «Письмовнике».
Если фамилия сопровождается мужским и женским именами, то она сохраняет форму единственного числа: Татьяна и Олег Король.