Слово комитет пишется с большой буквы как первое слово официального названия, например: Комитет Государственной Думы по образованию. Ср.: Международный олимпийский комитет, местный комитет профсоюза.
Верно: комитет Государственной Думы, Комитет Государственной Думы (далее - название комитета).
Сочетание профсоюзный комитет пишется строчными.
Во всех случаях нужна запятая.
Нет, такое употребление некорректно.
Склоняется только мужская фамилия Гайшун: Гайшуна, Гайшуну и т. д.
Действительно раздельно. Это можно проверить в нашем электронном орфографическом словаре (набрать в окне «Искать на Грамоте» кое-что, кое-кто).
В форме родительного падежа слова тень ударение падает на первый слог: выйти из те́ни.
В справочнике Д. Э. Розенталя «Управление в русском языке» указано, что с существительными и местоимениями 3-го лица правильно: скучать по кому-чему, например: скучать по сыну, скучать по нему. Но с личными местоимениями 1-го и 2-го лица мн. числа правильно: скучать по ком, например: скучали по нас, скучаем по вас.
А вот вариант скучать за кем-либо, о котором тоже довольно часто спрашивают, не является нормативным, выходит за рамки русского литературного языка.
