Правильно: бояться кого-чего. Кошка боится мышки.
Запятые не требуются.
В современном русском языке эти слова однокоренными не является (да и их этимологическое родство небесспорно, хотя вероятно).
Запятая в подобного рода конструкциях, состоящих из глагола быть, найти, остаться, вопросительно-относительного местоимения или наречия (кто, что, где, куда и др.) и неопределенной формы другого глагола, не ставится: есть на что посмотреть, есть к чему стремиться, не нашла что сказать, осталось на что жить и т. д.
В этимологическом словаре М. Фасмера высказано предположение, что кошка могло быть образовано от слова коша — уменьшительно-ласкательного к кот (подобно тому как образуются Маша от Марья, Паша от Павел и т. д.).
Правильно: мурлычет, мурлыкает.
Пожалуйста, сформулируйте вопрос.
