Правильно: кошечка. Но если нужно употребить именно указанный вариант, то верное написание: кошонка.
Конечно, винительный. Проверить легко: подставьте слово первого склонения: встретить девочку. Другое дело, что винительный падеж (встретить королька) в данном случае совпадает с родительным (нет королька), поскольку королек – одушевленное существительное. Возможно, учитель это имел в виду?
В ласкательных именах пишется суффикс -оньк- (суффикса -аньк- в современном русском языке нет).
Правильно.
Постановка запятой не требуется.