Правильно: бояться кого-чего. Кошка боится мышки.
В современном русском языке эти слова однокоренными не является (да и их этимологическое родство небесспорно, хотя вероятно).
В этимологическом словаре М. Фасмера высказано предположение, что кошка могло быть образовано от слова коша — уменьшительно-ласкательного к кот (подобно тому как образуются Маша от Марья, Паша от Павел и т. д.).
Правильно: мурлычет, мурлыкает.
Пожалуйста, сформулируйте вопрос.
Если определение относится к обоим существительным, то сочетание будет восприниматься однозначно с определением в форме множественного числа.
Запятые не требуются.
Правильно: кошечка. Но если нужно употребить именно указанный вариант, то верное написание: кошонка.
В именительном падеже.