В обоих случаях ставится запятая. Не спеша - наречие.
Верно: Президент поручил кабмину (Правительству).
Правильно: играет Робин Гуда.
Да, этот корень можно отнести к чередующимся. См. ответ на вопрос № 267619.
Обратитесь на сайт www.familii.ru.
Корни: жи..., бы...