В обоих случаях ставится запятая. Не спеша - наречие.
В обоих приведенных примерах нужны кавычки. Подробно об употреблении кавычек в сфере номинации см. в "Письмовнике".
Обратитесь на сайт www.familii.ru.
Правильно: играет Робин Гуда.
Верно: Президент поручил кабмину (Правительству).
Да, этот корень можно отнести к чередующимся. См. ответ на вопрос № 267619.
Ударение на первом слоге: палата общин.