Оба варианта допустимы.
Предпочтительно склонять фамилию без выпадения гласного: Клунока, Клуноку и т. д. Допустимо также склонение с выпадением гласного: Клунка, Клунку и т. д. Тип склонения вправе выбрать носитель фамилии.
Следует писать с большой буквы (как и фазы Луны).
Правильно: Я гуляю по Луне. Слово Луна употреблено как название космического объекта.
Правильно.
Эти сочетания взаимозаменяемы, чаще говорят интернациональная кухня.
Вариант названия клуба без предлога "для" выглядит предпочтительным.
Лучше так: «Солнечный клоун» или «солнечный клоун».
В значении "ухаживать" – подбивать клинья.