Верно: против бывшего госсекретаря Хиллари Клинтон.
Правильно со строчной: госсекретарь.
В «Справочнике по русскому языку: правописание, произношение, литературное редактирование» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой содержится рекомендация ставить иноязычную фамилию в форму единственного числа, если она сопровождается словами супруги, семья. Рекомендаций об употреблении фамилии при слове чета в справочнике нет, но логично предположить, что и в этом случае предпочтительно единственное число.
Нормативно: родом с Кубани. Это исторически сложившийся вариант предложного управления.
Правильно: она родом с Аляски.
Правильно в этих контекстах: родАм, родАми, родАх.
При слове семья нерусская фамилия обычно ставится в форме единственного числа: семья Клинтон, семья Далгат, семья Степанян.
